Operasi Hitung Bilangan Bulat

Materi Pokok           : Pengerjaan Hitung Bilangan Bulat
Sub Materi                 : Operasi Hitung Bilangan Bulat
Mata Pelajaran     : Matematika
Kelas/ Semester    : V/ I

Sumber: BSE Matematika Kelas V Dwi

1. Operasi penjumlahan bilangan bulat

Pada penjumlahan bilangan bulat dapat diselesaikan dengan menggunakan garis bilangan. Pada garis bilangan telah disepakati bahwa arah bilangan bulat positif ke kanan dan arah bilangan bulat negatif ke kiri.

Agar lebih jelas perhatikan ketentuan berikut ini:

Bilangan positif + bilangan positif = bilangan positif.

Bilangan negatif + bilangan negatif = bilangan negatif.

Bilangan positif + bilangan negatif = bilangan positif atau negatif.

Jika bilangan positif > bilangan negatif hasilnya bilangan positif.

Jika bilangan positif < bilangan negatif hasilnya bilangan negatif.

Untuk Lebih Jelasnya perhatikan contoh berikut:

Hitunglah penjumlahan:

a. 3 dan 7

b. 4 dan (–3).

Penyelesaian:

a. Dari nol sebagai titik pangkal, kita melangkah 3 satuan ke kanan, dilanjutkan dengan 7 satuan ke kanan. Hasil penjumlahannya adalah jarak dari titik nol ke posisi terakhir, yaitu 10.

Operasi Hitung Bilangan Bulat Positif dan Negatif Lengkap

Jadi 3 + 7 = 10

b. Dari titik nol kita melangkah 4 satuan ke kanan, kemudian melangkah 3 satuan ke kiri. Hasil penjumlahannya adalah 1.

Operasi Hitung Bilangan Bulat Positif dan Negatif Lengkap

Jadi, 4 + (–3) = 1

Baca selengkapnya: Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat

2. Operasi pengurangan bilangan bulat

Pengurangan sebagai penjumlahan dengan lawan pengurangannya, misalnya:

1. 7 – 2 = 7 + (–2) = 5

Jadi, 7 – 2 = 7 + (–2)

2. –2 – 5 = –2 + (–5) = –7

3. 9 – (–5) = 9 + 5 = 14

Untuk lebih jelasnya perhatikan kaidah pengurangan pada bilangan bulat berikut ini!

Untuk setiap a dan b bilangan bulat berlaku:

a – b = a + (–b) 

a –(–b) = a + b 

–a – (–b) = –a + b

–a – b = –a + (–b)

3. Operasi perkalian bilangan bulat

Di Sekolah Dasar, kalian telah mempelajari perkalian yang juga berarti penjumlahan berulang.

 Misalkan 5 x 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3  atau a x b = b + b + b + ... + b (sebanyak a kali)

a. Perkalian Bilangan Bulat Positif dan Negatif

Perhatikanlah contoh-contoh berikut ini:

1. 1 x  (–4) = –4

2. 2 x  (–4) = –8

3. 3 x  (–4) = –12

4. 4 x  (–4) = –16

5. 5 x  (–4) = –20

Berdasarkan contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif.

 Untuk setiap bilangan bulat a dan b selalu berlaku a x (– b) = – (a x b).

b. Perkalian Dua Bilangan Bulat Negatif

Perhatikanlah contoh-contoh berikut ini:

1. 3 x (–2) = –6

2. 2 x (–2) = –4

3. 1 x (–2) = –2

4. 0 x (–2) = 0

5. –1 x (–2) = 2

6. –2 x (–2) = 4

7. –3 x (–2) = 6

Dari contoh di atas hasil kali dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.

 Untuk setiap bilangan bulat a dan b selalu berlaku (– a) x (– b) = (a x b).

c. Perkalian Bilangan Bulat dengan Nol (0)

Perhatikan perkalian berikut ini!

1. 4 x 0 = 0

2. –2 x 0 = 0

3. 0 x 3 = 0

Untuk semua bilangan apabila dikalikan dengan nol (0) hasilnya adalah nol.

 Untuk setiap bilangan bulat a selalu berlaku a x 0 = 0 x a = 0.

d. Unsur Identitas pada Perkalian

Semua bilangan bulat bila dikalikan dengan 1 atau sebaliknya, akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Dalam hal ini 1 disebut unsur identitas pada perkalian.

Misalnya:

1. 8 x 1 = 8

2. 6 x 1 = 6

3. –4 x 1 = –4

4. –3 x 1 = –3

 Untuk setiap bilangan bulat a selalu berlaku a x 1 = 1 x a = a.

4. Operasi pembagian bilangan bulat

Misalkan ditentukan p x 9 = 54. Untuk mencari nilai p dapat dilakukan dengan dua cara yaitu:

a. Cara perkalian, yaitu dengan mencari suatu bilangan yang jika dikalikan dengan 9 hasilnya 54 di mana bilangan itu adalah 6.

b. Cara pembagian, yaitu dengan membagi 54 dengan 9, yang hasilnya adalah 6.

Dengan demikian, membagi 54 dengan 9 sama artinya dengan mencari suatu bilangan yang jika dikalikan dengan 9 hasilnya sama dengan 54 yang berarti 54 : 8 = 9 <=> 6 x 9 = 54.

Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa: pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian, secara umum dapat dituliskan:

 a : b = c <=> b x c = a ; b ¹ 0

Bentuk a : b dapat juga ditulis: a/b

Contoh 

1. 30 : 5 = 6 sebab 5 x 6 = 30

2. 16 : (–4) = –4 sebab –4 x (–4) = 16

3. –10 : 5 = –2 sebab 5 x (–2) = –10

4. –8 : (–2) = 4 sebab –2 x 4 = –8

Dari contoh-contoh di atas dapat disimpulkan bahwa:

hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif,

hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif,

hasil bagi bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif atau sebaliknya adalah biangan negatif.

a. Pembagian Bilangan Bulat dengan Nol (0).

Misalkan 5 : 0 = p <=> 0 x p = 5

Tidak ada satu pun pengganti p pada bilangan bulat yang memenuhi 0 x p = 5, sehingga dapat disimpulkan bahwa:

 Untuk setiap bilangan bulat a, a : 0 tidak terdefinisi

b. Pembagian Bilangan Bulat oleh Nol (0).

Untuk pembagian 0 : 3 = n, adakah pengganti n yang memenuhi?

Perhatikan uraian berikut:

0 : 3 = n <=> 3 x n = 0

Pengganti n yang memenuhi 3 x n = 0, adalah 0.

Jadi, kesimpulannya adalah

 Untuk setiap bilangan bulat a, berlaku 0 : a = 0

Read More

Menaksir Hasil Pengerjaan Hitung Dua Bilangan

Materi Pokok           : Bilangan Bulat
Sub Materi                 : Menaksir Hasil Pengerjaan Hitung Dua Bilangan
Mata Pelajaran     : Matematika
Kelas/ Semester    : V/ I

Sumber:BSE Matematika Kelas V Dwi

Menaksir Hasil Pengerjaan Hitung Dua Bilangan

1. Menaksir Hasil Penjumlahan dan Pengurangan Menaksir hasil penjumlahan atau pengurangan dua bilangan berarti memperkirakan hasil penjumlahan atau pengurangan dari kedua bilangan tersebut. 

Caranya dengan membulatkan kedua bilangan kemudian hasil pembulatan tersebut dijumlahkan atau dikurangkan.

Perhatikan contoh berikut.

a. Tentukan taksiran ke puluhan terdekat dari 53 + 79

Langkah pertama, bulatkan setiap bilangan ke puluhan terdekat. Caranya sebagai berikut.

Perhatikan angka satuannya. Jika satuannya kurang dari 5 dibulatkan ke nol. Jika satuannya lebih atau sama dengan 5 dibulatkan ke 10.

Berarti 53 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 50.

Berarti 79 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 80.

Langkah kedua, jumlahkan hasil pembulatan dari kedua bilangan.

50 + 80 = 130

Jadi, taksiran ke puluhan terdekat dari 53 + 79 adalah 130.

Ditulis 53 + 79 ≈ 130.

b. Tentukan taksiran ke ratusan terdekat dari 599 – 222

Langkah pertama, bulatkan setiap bilangan ke ratusan terdekat.

Perhatikan angka puluhannya. Jika puluhannya kurang dari 50 dibulatkan ke nol. Jika puluhannya lebih dari 50 dibulatkan ke 100.

Langkah kedua, kurangkan hasil pembulatan dari kedua bilangan 600 – 200 = 400.

Jadi, taksiran ke ratusan terdekat dari 599 – 222 adalah 400.

Ditulis 599 – 222 ≈ 400.

2. Menaksir Hasil Kali dan Hasil Bagi

Cara menaksir hasil kali atau hasil bagi dua bilangan yaitu dengan membulatkan kedua bilangan kemudian hasil pembulatan dari kedua bilangan tersebut dikali atau dibagi.

Banyak kelompok yang ikut gerak jalan 18 tim. Setiap tim beranggotakan 21 anak. Berapa kira-kira jumlah anak yang ikut gerak jalan?

Mari selesaikan permasalahan di atas.

Permasalahan di depan dapat dicari dengan menaksir.

Cermati perhitungannya berikut ini.

Banyak tim = 18 ⎯⎯⎯⎯→ 20.

Banyaknya anggota setiap tim = 21 ⎯⎯⎯⎯→ 20.

Taksiran jumlah siswa = 20 × 20 = 400.

Jadi, jumlah anak yang ikut gerak jalan kira-kira ada 400.

Apabila hasil perkaliannya dibulatkan, diperoleh hasil berikut.

18 × 21 = 378 (hasil sebenarnya)

Pembulatan ke puluhan terdekat:

378 ⎯⎯⎯⎯→ 370 + 10 = 380

378 dibulatkan ke puluhan terdekat menjadi 380.

Jadi, 18 × 21 ≈ 380.

Pembulatan ke ratusan terdekat:

378 ⎯⎯⎯⎯→ 300 + 100 = 400

378 dibulatkan ke ratusan terdekat menjadi 400.

Jadi, 18 × 21 ≈ 400.

Apabila panitia menyediakan minuman sebanyak 576 botol untuk peserta gerak jalan, kira-kira berapa botol minuman yang didapatkan setiap tim?

Permasalahan di atas diselesaikan dengan menaksir.

Begini penyelesaiannya.

Banyak minuman yang didapatkan setiap tim:

576 : 18

576 ⎯⎯⎯⎯→ 500 + 100 = 600

18 ⎯⎯⎯⎯→ 10 + 10 = 20

Diperoleh 600 : 20 = 30.

Jadi, banyak minuman yang didapatkan setiap tim kirakira 30 botol.

Secara umum, cara menaksir hasil kali dan hasil bagi sebagai berikut.

1. Bulatkan bilangan-bilangan yang dioperasikan.

2. Kalikan atau bagilah bilangan-bilangan yang dibulatkan itu.

Read More

Sifat-Sifat Pengerjaan Hitung pada Bilangan Bulat

Materi Pokok           : Bilangan Bulat
Sub Materi                 : Sifat-Sifat Pengerjaan Hitung pada Bilangan Bulat
Mata Pelajaran     : Matematika
Kelas/ Semester    : V/ I

Sumber: BSE Matematika Kelas V Dwi

Sifat-sifat pengerjaan hitung pada bilangan bulat yang akan dipelajari sifat komutatif, asosiatif, dan distributif. Mungkin kamu pernah menggunakan sifat-sifat tersebut, tetapi belum tahu nama sifat-sifatnya. Sebenarnya seperti apa sifat-sifat itu?

Coba perhatikan penjelasan berikut.

1. Sifat Komutatif (Pertukaran)

a. Sifat komutatif pada penjumlahan

Andi mempunyai 5 kelereng berwarna merah dan 3 kelereng berwarna hitam. Budi mempunyai 3 kelereng berwarna merah dan 5 kelereng berwarna hitam. Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan Budi?

Ternyata jumlah kelereng Andi sama dengan jumlah kelereng Budi.

Jadi, 5 + 3 = 3 + 5.

Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat komutatif. Secara umum, sifat komutatif pada penjumlahan dapat ditulis sebagai berikut.

a + b = b + a

dengan a dan b sembarang bilangan bulat.

b. Sifat komutatif pada perkalian

Jumlah kelereng Andi dan Budi sama, yaitu 8 butir. Kelereng Andi dimasukkan ke empat kantong plastik. Setiap kantong berisi 2 butir. Kelereng Budi dimasukkan ke dua kantong plastik. Setiap kantong berisi 4 butir.

Kelereng Andi dan Budi dapat ditulis sebagai berikut.

Kelereng Andi = 2 + 2 + 2 + 2

                         = 4 × 2 = 8

Kelereng Budi = 4 + 4

                        = 2 × 4 = 8

Jadi, 4 × 2 = 2 × 4.

Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat komutatif pada perkalian.

Secara umum, sifat komutatif pada perkalian dapat ditulis:

a × b = b × a

dengan a dan b sembarang bilangan bulat.

2. Sifat Asosiatif (Pengelompokan)

a. Sifat asosiatif pada penjumlahan

Andi mempunyai 2 kotak berisi kelereng. Kotak I berisi 3 kelereng merah dan 2 kelereng hitam. Kotak II berisi 4 kelereng putih. Budi juga mempunyai 2 kotak berisi kelereng. Kotak I berisi 3 kelereng merah. Kotak II berisi 2 kelereng hitam dan 4 kelereng putih. Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan Budi?

Ternyata jumlah kelereng yang dimiliki Andi sama dengan jumlah kelereng yang dimiliki Budi.

Jadi, (3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4)

Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat asosiatif pada penjumlahan.

Secara umum, sifat asosiatif pada penjumlahan dapat ditulis:

(a + b) + c = a + (b + c)

dengan a, b, dan c sembarang bilangan bulat.

b. Sifat asosiatif pada perkalian

Andi mempunyai 2 kotak mainan. Setiap kotak diisi 3 bungkus kelereng. Setiap bungkus berisi 4 butir kelereng. Berapa jumlah kelereng Andi?

Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menghitung jumlah kelereng Andi.

Cara pertama menghitung banyak bungkus.

Kemudian, hasilnya dikalikan banyak kelereng tiap bungkus.

Banyak bungkus × banyak kelereng tiap bungkus

= (3 bungkus + 3 bungkus) × 4 butir

= (3 + 3) × 4

= (2 × 3) × 4 = 24 butir

Cara kedua menghitung banyak kelereng setiap kotaknya dahulu kemudian hasilnya dikalikan banyak

kotak.

Banyak kotak × banyak kelereng

= 2 × (4 + 4 + 4)

= 2 × (3 × 4) = 24 butir

Perhitungan cara I: (2 × 3) × 4.

Perhitungan cara II: 2 × (3 × 4).

Hasil perhitungan dengan kedua cara adalah sama.

Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).

Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat asosiatif pada perkalian.

Secara umum, sifat asosiatif pada perkalian dapat ditulis:

(a × b) × c = a × (b × c)

dengan a, b, dan c bilangan bulat.

3. Sifat Distributif (Penyebaran)

a. (3 × 4) + (3 × 6) = 3 × (4 + 6)

Penghitungan dilakukan dengan cara menjumlah kedua angka yang dikalikan (4 + 6). 

Kemudian hasilnya dikalikan dengan angka pengali (3).

3 × (4 + 6) = 3 × 10 = 30.

Mengapa cara ini digunakan.

Karena menghitung 3 × (4 + 6) = 3 × 10 lebih mudah daripada menghitung (3 × 4) + (3 × 6).

b. 15 × (10 + 2) = (15 × 10) + (15 × 2)

Penghitungan dilakukan dengan cara kedua angka yang dijumlah (10 dan 2) masing-masing dikalikan

dengan angka pengali (15), kemudian hasilnya dijumlahkan.

15 × (10 + 2) = (15 × 10) + (15 × 2)

= 150 + 30

= 180

Cara ini juga untuk mempermudah penghitungan

karena menghitung (15 × 10) + (15 × 2) = 150 + 30

lebih mudah daripada menghitung 15 × (10 + 2) = 15 × 12.

Cara penghitungan seperti di atas menggunakan sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan.

Secara umum, sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan dapat ditulis:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

a × (b – c) = (a × b) – (a × c)

dengan a, b, dan c bilangan bulat.

4. Menggunakan Sifat Komutatif, Asosiatif, dan Distributif

Sifat komutatif, asosiatif, dan distributif dapat digunakan untuk memudahkan perhitungan.

Perhatikan contoh berikut.

1. Menghitung 5 × 3 × 6

Cara 1:

5 × 3 × 6 = 5 × 6 × 3

= (5 × 6) × 3

= 30 × 3

= 90

Cara 2:

5 × 3 × 6 = 3 × 5 × 6

= 3 × (5 × 6)

= 3 × 30

= 90

2. Menghitung 8 × 45

Cara 1: menggunakan sifat distributif pada penjumlahan

8 × 45 = 8 × (40 + 5)

= (8 × 40) + (8 × 5)

= 320 + 40

= 360

Cara 2: menggunakan sifat distributif pada pengurangan

8 × 45 = 8 × (50 – 5)

= (8 × 50) – (8 × 5)

= 400 – 40

= 360

Read More

Trik Hitung Matematika

Asyiknya belajar matematika jika kita tahu cara penyelesaiannya. Persoalan matematika biasanya dikerjakan dengan cara-cara yang pasti/baku, atau dengan trik-trik yang dapat mempermudah perhitungan pada umumnya. Bila Anda ingin makin mahir dalam bidang Matematika, hendaknya sering melatih diri dengan menyelesaikan persoalan Matematika sebanyak mungkin.

Di bawah ini ada 9 (sembilan) tips dan trik penyelesaian soal Matematika dengan cepat, antara lain :

1. Pengkuadratan Angka Berakhiran Lima
langkah-langkahnya :
a) Kalikan angka sebelum angka lima dengan angka urutan selanjutnya.
b) Tuliskan angka 25 di belakang angka hasil dari a)

contoh :
i. 652 = ?
a) 6 x 7 = 42
b) hasil : 4225
ii. 1052 = ?
a) 10 x 11 = 110
b) hasil : 11025

2. Pengkuadratan Dua Angka Bilangan yang dimulai dengan Lima
langkah-langkahnya :
a) Tambahkan bilangan 25 dengan bilangan satuannya.
b) Kuadratkan bilangan satuannya.
(khusus untuk angka satuan 1, 2, dan 3, hasil kuadratnya dituliskan 01, 04, dan
09)
c) Hasil akhir adalah gabungan a) dan b)

contoh :
i. 512 = ?
a) 25 + 1 = 26
b) 12 = 01
c) hasil : 2601
ii. 592 = ?
a) 25 + 9 = 34
b) 92 = 81
c) hasil : 3481

3. Pengkuadratan Dua Angka Bilangan yang diakhiri angka Satu
langkah-langkahnya :
a) Kuadratkan angka bulatnya.
b) Jumlahkan angka tersebut dengan angka bulatnya.
c) Hasil akhirnya adalah jumlah dari a) dan b)

contoh :
i. 612 = ?
a) 602 = 3600
b) 61 + 60 = 121
c) hasil : 3600 + 121 =3721
ii. 212 = ?
a) 202 = 400
b) 21 + 20 = 41
c) hasil : 400 + 41 = 441

4. Perkalian Satu Angka dengan 11 (11; 110; 1,1 dan seterusnya)
langkah-langkahnya :
a) Tuliskan angkanya.
b) Sisipkan angka dari jumlah dua angka tersebut. Hati-hati bila hasil penjumlahannya lebih dari 9, angka puluhannya dijumlahkan dengan angka pertama.

contoh :
i. 24 x 11 = ?
a) 2 ? 4
b) 2 + 4 = 6 -->> Hasilnya : 264
ii. 67 x 11 = ?
a) 6 ? 7
b) 6 + 7 = 13 -->> 6 + 1 = 7 -->> Hasilnya : 737

5. Perkalian Satu Angka atau Dua Angka dengan 99 (0,99; 9,9; 990 dst.)
langkah-langkahnya :
a) Kurangi bilangan tersebut dengan angka 1.
b) Kurangi bilangan 100 dengan bilangan tersebut.
c) Hasil akhirnya adalah gabungan dari a) dan b)

contoh :
15 x 99 = ?
a) 15 - 1 = 14
b) 100 - 15 = 85
c) hasilnya : 1485

6. Perkalian Bilangan Genap dengan 1,5; 2,5; 3,5 dst.
langkah-langkahnya :
a) Kalikan bilangan pengali dengan 2.
b) Bilangan yang dikalikan dibagi dengan angka 2.
c) Hasil akhirnya adalah perkalian a) dan b)

contoh :
16 x 4,5 = ?
a) 4,5 x 2 = 9
b) 16 : 2 = 8
c) hasilnya : 9 x 8 = 72

7. Perkalian Satu atau Dua Angka dengan 101 (1,01; 10,1 dst)
langkah-langkahnya :
a) Tuliskan angkanya dua kali.
b) Sisipkan nol atau koma.

contoh :
i. 27 x 101 = ?
a) 2727
ii. 4 x 101 = ?
a) 44
b) hasilnya : 404

8. Perkalian Dua Bilangan yang Nilainya Berselisih Dua
langkah-langkahnya :
a) Kuadratkan bilangan di antaranya.
b) Hasilnya : a) -1.

contoh :
i. 11 x 13 = ?
a) 122 = 144
b) Hasilnya : 144 - 1 = 143

9. Perkalian Dua Bilangan dengan Hubungan Khusus : Bilangan puluhannya bernilai sama dan jumlah bilangan satuannya adalah 10
langkah-langkahnya :
a) Kalikan bilangan puluhan dengan bilangan berikutnya.
b) Kalikan masing-masing bilangan satuannya.
c) Hasilnya adalah gabungan dari a) dan b).

contoh :
i. 16 x 14 = ?
a) 1 x 2 = 2
b) 6 x 4 = 24
c) Hasilnya : 224
ii. 28 x 22 = ?
a) 2 x 3 = 6
b) 8 x 2 = 16
c) Hasilnya : 616

Sumber:

http://math07.findtalk.biz/

Read More